統計解析(z-スコアの算出について）

| z-スコア | ≦ 2.0	：満足
2.0 ＜ | z-スコア | < 3.0	：疑わしい
| z-スコア | ≧ 3.0	：不満足

注記　化学分析では、アナライト濃度からThompsonによるHorwitz式の修正式を用いて計算した標準偏差（次章参照）が、統計的モデルから推定した値となります。

c > 0.138	0.01×c0.5
0.138 ≥ c ≥ 1.2×10-7	0.02×c0.8495	・・・・・ 式2
1.2×10-7 > c	0.22×c

なお、ThompsonによるHorwitz式の修正式はempiricalな分析（経験法あるいは定義法により行われる分析）には適用されません。
そのため、JBCO技能試験の理化学分析試験（栄養成分）では、たんぱく質、脂質、水分、灰分、炭水化物の推定標準偏差は参考値としています。

「1. z-スコア」で述べたように、z-スコアによる評価では、参加者の結果が正規分布していることが前提となります。しかし、参加者の結果には分布から大きく離れた値（外れ値）が含まれることがあり、このような場合に参加者の結果から平均値および標準偏差を計算すると、不適切な値が得られる場合があります。 ロバスト平均値は、統計学やデータ分析において外れ値の影響を受けにくい平均値の計算方法です。 Fig. 2に、外れ値がある場合の統計量を示します。 左側の分布は平均値10、標準偏差3とします。 Fig. 2 外れ値がある場合の統計量 Fig. 2の上図は、少し離れた値が1個ありますが概ね正規分布となっている例です。
この場合、少し離れた値を含めて平均値と標準偏差を計算しても大きくは変わりません。
一方、Fig. 2の下図は、正規分布の集団に大きな外れ値が加わった例です。
この場合、大きな外れ値を含めて平均値と標準偏差を計算すると平均値、標準偏差ともに値が大きくなります。この理由として、標準偏差は特に外れ値の影響を受けやすく、外れ値があると非常に大きな値となってしまうためです。その結果、パフォーマンスが不十分な試験所が誤って満足と評価される可能性があり、適切な方法を用いて外れ値の影響を最小化する必要があります。そこで、このように大きな外れ値がある場合はロバスト統計手法を用いて計算されます。
ロバスト統計手法とは、外れ値を除去することなく外れ値以外の値の平均値と標準偏差を推定する方法であり、ロバストな統計量として
①中央値を用いる手法、
②中央絶対偏差（MADe）を用いる手法、
③正規四分位範囲（nIQR）を用いる手法、さらに
④アルゴリズムAというロバストな平均値と標準偏差を推定する手法、
があります。 平均値は分布の位置のパラメータとなりますが、外れ値があると変化しやすくなります。
それに対して、①の手法の「中央値」は外れ値の影響を受けにくい値となります。
n個の数値を昇順に並べたものを x_iで表すとき、中央値は式3で示されます。
　式3

nが奇数の時
nが偶数の時

②中央絶対偏差（MADe）を用いる手法の「MADe」はロバストな分布の範囲のパラメータであり、 x_i の中央値をmed( x)とし、 x_i とmed(x)の差の絶対値の中央値を求め、それに1.483を乗じるとMADeが得られます。
　また、③正規四分位範囲（nIQR）を用いる手法の「nIQR」もロバストな分布の範囲のパラメータであり、 x_i の第3四分位数（75パーセンタイル値）と第1四分位数（25パーセンタイル値）の差に0.7413を乗じた値となります。1.483および0.7413は、正規分布を想定した理論値とされています。
④のアルゴリズムAは、平均値の初期値を中央値、標準偏差の初期値をMADeとし、収束するまで以下の繰り返し計算を行ってロバストな平均値と標準偏差を得る手法となります。 平均値の推定値（はじめは初期値）を x ^*、標準偏差の推定値を（はじめは初期値）s^*とします。
δ=1.5s^*　とし、

x_i< x^*– δ　の時は　xi*= x^*– δ
x_i< x^*+ δ　の時は　xi*= x^*+ δ
それ以外は　 xi*=xi　とします。